群準同型写像の像は部分群 の変更点
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* (定理) 準同型写像の像は部分群 [#hcad20fe]
** 仮定 [#uc306db7]
- &mathjax{G_1, G_2}; は群
- &mathjax{f}; は準同型写像 &mathjax{f: G_1 \longrightarrow G_2};
** 主張 [#f2274f05]
&mathjax{f}; の[[像]] &mathjax{\mathrm{Image}f}; は &mathjax{G_2}; の部分群となる。
* 証明 [#m05ff4ad]
&mathjax{e~(\in G_1), e'~(\in G_2)}; をそれぞれ単位元とする。
[[任意の &mathjax{\mathrm{Image}f}; の元 &mathjax{a, b}; について、 &mathjax{ab^{-1} \in \mathrm{Image} f}; が成り立ちさえすればよい>部分群であることの証明]]ので、それを確かめる。
像の定義より、 &mathjax{a = f(\alpha), b = f(\beta)}; となる &mathjax{\alpha, \beta~(\in G_1)}; は存在するので、そのうちの適当な一つをとる。
ここで &mathjax{\beta}; について、[[準同型写像の逆元をとる順番は入れ替えてもよい>準同型写像#vc68df4f]]性質により
ここで &mathjax{\beta}; について、[[準同型写像の逆元をとる順番は入れ替えてもよい>群準同型写像#vc68df4f]]性質により
#mathjax(f(\beta^{-1}) = \{f(\beta)\}^{-1});