群 の変更点

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* 定義 [#c26127f1]

集合 &mathjax{G}; が次の条件を満たすとき、 &mathjax{G}; は群であるという。

+ &mathjax{G}; の任意の 2 つの元 &mathjax{a, b}; に対して、二項演算 (積) &mathjax{\cdot : G \times G \longrightarrow G}; が定義されている。
+ 3 つの元 &mathjax{a, b, c}; に対して、結合則 &mathjax{a(bc) = (ab)c}; が成り立つ。
+ 単位元 &mathjax{e}; があり、任意の &mathjax{g \in G}; に対して &mathjax{ge = eg = g}; が成り立つ。
+ 任意の元 &mathjax{g}; に対し、逆元 &mathjax{g^{-1}}; があり、 &mathjax{gg^{-1} = g^{-1}g = e}; が成り立つ。

一般に、積に対して可換性 &mathjax{ab = ba}; は要求しない。積が可換である場合、 ''可換群''あるいは'' Abel 群''と呼ぶことがある。
[[逆元は一意的>逆元の一意性]]であり、[[単位元も一意的>単位元の一意性]]である。

* その他 [#cbad60d6]

- &mathjax{a, b, c \in G, a \neq b}; とすると、 &mathjax{ac \neq bc}; である。右から &mathjax{c^{-1}}; をかけると分かる。