環R上の加群 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{M}; はアーベル群
- &mathjax{\cdot}; は演算 &mathjax{\cdot: R \times M \longrightarrow M}; (定数倍と呼ぶことにする)
* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{(M, \cdot)}; の組がR-加群であるとは、次の3つの条件を全て満たすことを言う:
+ &mathjax{\cdot}; が &mathjax{R}; について双線形
すなわち、
#mathjax(r\cdot (m_1 + m_2) = r\cdot m_1 + r\cdot m_2);
#mathjax((r_1 + r_2)\cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m); であること。
+ 任意の &mathjax{r_1, r_2 ~(\in R)}; と任意の &mathjax{m ~(\in M)}; について、
#mathjax(r_1\cdot(r_2\cdot m) = (r_1\cdot r_2)\cdot m); が成り立つこと。
+ &mathjax{1 \cdot m = m}; が成り立つこと。

ちなみに任意の &mathjax{r ~(\in R)}; と &mathjax{m ~(\in M)}; について &mathjax{0_R \cdot m = r \cdot 0_M = 0}; が成り立つことは[[環のときと同様に>環#bc8e50f3]]導ける。
* 例 [#ae2093c7]

- &mathjax{R}; 自身は自分自身との積を定数倍とみなしてR-加群である。
- &mathjax{R}; の直和 &mathjax{R^{\oplus n}}; は、和を各成分ごとの和、定数倍を全ての成分を同じ定数倍するものとすれば、R-加群になる。
-- ここでは &mathjax{n}; は有限であるから、直和は直積と同じものである。
- より一般に、 &mathjax{R}; の直積 &mathjax{R^\Lambda}; も、和を各成分ごとの和、定数倍を全ての成分を同じ定数倍するものとすれば、R-加群になる。
-- &mathjax{\Lambda}; が無限集合の場合は直和とは異なる。
- &mathjax{R}; が体 &mathjax{K}; であるとき、 K-加群は &mathjax{K}; 上のベクトル空間となる。
- &mathjax{R}; が &mathjax{\mathbb{Z}}; であるとき、R-加群はアーベル群に一致する - すなわち任意のアーベル群を &mathjax{\mathbb{Z}};-加群にすることができる。 (単に &mathjax{n}; を"掛ける"操作を &mathjax{n}; 回"足す"操作にすればよい。)
- &mathjax{R}; が &mathjax{\mathbb{Z}}; であるとき、&mathjax{\mathbb{Z}};-加群はアーベル群に一致する - すなわち任意のアーベル群を &mathjax{\mathbb{Z}};-加群にすることができる。 (単に &mathjax{n}; を"掛ける"操作を &mathjax{n}; 回"足す"操作にすればよい。)