環準同型写像の核はイデアル の変更点
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* (定理) 環準同型写像の核はイデアル [#hcad20fe]
** 仮定 [#uc306db7]
- &mathjax{R_1, R_2}; は環
- &mathjax{f}; は環準同型写像 &mathjax{f: R_1 \longrightarrow R_2};
- &mathjax{0_{R_2}}; は &mathjax{R_2}; の加法の単位元
** 主張 [#f2274f05]
&mathjax{\mathrm{Ker}f = \{x \in R_1; f(x) = 0_{R_2}\}}; は &mathjax{R_1}; のイデアルとなる。
&mathjax{\mathrm{Ker}f = \left\{x \in R_1 \mathrel{}\middle|\mathrel{} f(x) = 0_{R_2}\right\}}; は &mathjax{R_1}; のイデアルとなる。
* 証明 [#m05ff4ad]
まず &mathjax{+}; について部分群になることは、 &mathjax{R_1, R_2}; を &mathjax{+}; についての群、 &mathjax{f}; を群準同型に格下げして見たときに[[群準同型写像の核は部分群]]であるから成立する。
あとは定数倍について閉じていることを示せばよい。任意の &mathjax{x ~(\in \mathrm{Ker}f)}; と任意の &mathjax{r ~(\in R_1)}; に対して、 &mathjax{f(rx) = f(r)f(x) = f(r)0_{R_2} = 0_{R_2}}; より &mathjax{f(rx) \in \mathrm{Ker}f}; であるから、きちんと閉じている。