環準同型写像の像は部分環 の変更点

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* (定理) 環準同型写像の核は部分環 [#hcad20fe]

*(定理) 環準同型写像の像は部分環 [#hcad20fe]
** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R_1, R_2}; は環
- &mathjax{f}; は環準同型写像 &mathjax{f: R_1 \longrightarrow R_2};
- &mathjax{1_{R_1} ~(\in R_1), 1_{R_2} ~(\in R_2)}; はそれぞれ乗法の単位元

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{\mathrm{Image}f = \left\{f(x) \in R_2 \mathrel{}\middle|\mathrel{} x \in R_1\right\}}; は &mathjax{R_2}; の部分環となる。

* 証明 [#m05ff4ad]

&mathjax{R_2' = \mathrm{Image}f}; とおく。順に確かめていく。

** 演算が閉じている [#m0ebfad5]

像の定義から、任意の &mathjax{a, b ~(\in R_2')}; について、ある &mathjax{x, y ~(\in R_1)}; があって &mathjax{a = f(x), b = f(y)}; を満たす。

&mathjax{a + b = f(x) + f(y) = f(x + y)}; は環準同型写像が群準同型写像でもあるので成立する。すると &mathjax{a + b \in \mathrm{Image} f = R_2'}; となる。
&mathjax{a \times b = f(x) \times f(y) = f(x \times y)}; は環準同型写像が積を保つので成立する。すると &mathjax{a \times b \in \mathrm{Image} f = R_2'}; となる。演算は閉じている。

** &mathjax{+}; について可換な群であること [#e721b9f2]

&mathjax{R_2'}; が群であることは &mathjax{R_1, R_2}; を &mathjax{+}; に関する群、 &mathjax{f}; を群準同型写像と格下げて見れば、[[群準同型写像の像は部分群]]であるから成立する。可換性は (演算の定義を変えていないので) 満たされる。

** &mathjax{\times}; についてモノイドになること [#b568484f]

&mathjax{f(1_{R_1}) \times f(1_{R_1}) = f(1_{R_1} \times 1_{R_1}) = f(1_{R_1}) \in \mathrm{Image}f = R_2'}; であるから単位元 &mathjax{1_{R_2}}; は &mathjax{R_2'}; に含まれる。
結合法則は演算を変えていなので成立する。

** 分配法則 [#r726fc6f]

演算を変えていないので成立する。