環 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は集合
- &mathjax{+}; は二項演算
- &mathjax{\times}; は二項演算

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{(R,+,\times)}; の組が次の条件を満たすとき、これを''環''と言う。

- &mathjax{+}; について
-- &mathjax{(R,+)}; が可換な群
- &mathjax{\times}; について
-- &mathjax{(R,\times)}; がモノイド
--- ある &mathjax{1_R \in R}; があって、任意の &mathjax{a \in R}; に対して &mathjax{a \times 1_R = 1_R \times a = a}; を満たす。
--- 任意の &mathjax{a, b, c \in R}; に対して &mathjax{(a \times b) \times c = a \times (b \times c)};
- 任意の &mathjax{a, b, c \in R}; に対して &mathjax{(a + b) \times c = a \times c + b \times c};
- 任意の &mathjax{a, b, c \in R}; に対して &mathjax{c \times (a + b) = c \times a + c \times b};

* 例 [#ae2093c7]

&mathjax{\mathbb{Z}}; は環となる。

* その他 [#cf6938b5]

** &mathjax{\times}; の略記 [#aa329583]

&mathjax{a \times b}; はしばしば &mathjax{ab}; と略記する。

** 乗法についても可換な環のみを考える [#wf4cefe4]

環の加法については可換であることが定義である。一方、乗法について可換であることは求められていないが (例 : 行列環) 、今後は乗法についても可換であることを仮定する (可換環) 。

** 任意の &mathjax{a ~(\in R)}; について、 &mathjax{a \times 0 = 0 \times a = 0}; [#bc8e50f3]

&mathjax{0 + 0 = 0}; であるから、両辺に &mathjax{a}; をかけると &mathjax{a \times 0 + a \times 0 = a \times 0}; となる (左辺で分配法則を使った) 。
両辺に &mathjax{a \times 0}; の加法の逆元を足すと &mathjax{a \times 0 = 0}; を得る。