極大イデアルは素イデアル の変更点

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* (定理) 極大イデアルは素イデアル [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{I ~(\subset R)}; は極大イデアル

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{I}; は素イデアルである。

* 証明 [#m05ff4ad]

&mathjax{I}; は極大イデアルだから、[[極大イデアルによる剰余環]]の性質により、剰余環 &mathjax{R/I}; が体となる。体は必ず整域なので、 &mathjax{R/I};は整域となる。すると[[素イデアルによる剰余環]]の性質 (の逆; 同値条件なので) により、 &mathjax{I}; は素イデアルとなる。