極大イデアルによる剰余環 の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 極大イデアルによる剰余環 へ行く。

* (定理) 極大イデアルによる剰余環 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{I ~(\in R)}; は部分群

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{R/I}; が体 &mathjax{\Longleftrightarrow}; &mathjax{I}; が極大イデアル

* 証明 [#m05ff4ad]

&mathjax{R/I}; における加法の単位元 &mathjax{\overline{0}}; は &mathjax{I}; であることに注意。 &mathjax{x + I}; を単に &mathjax{\overline{x}}; と略記する。 (ここではそれは単なる略記である。)

** &mathjax{\Longleftarrow}; [#oa46271d]

&mathjax{I \subsetneqq J}; となるようなイデアル &mathjax{J}; を考える。

&mathjax{x \in J \setminus I}; をとる。このとき &mathjax{x \notin I}; より &mathjax{\overline{x} \neq \overline{0}}; となる。 &mathjax{R/I}; は体であるから、ある &mathjax{\overline{y} ~(\in R/I)}; で &mathjax{\overline{x}\;\overline{y} = \overline{1}}; となるものが存在する。つまり、ある &mathjax{i_1, i_2 \in I}; を用いて &mathjax{xy + i_1 = 1 + i_2}; つまり &mathjax{xy + i_1 - i_2 = 1}; とかける。

ところで &mathjax{y \in J, ~~ i_1, i_2 \in I \subset J}; より、 &mathjax{xy + i_1 - i_2 \in J}; すなわち &mathjax{1 \in J}; が分かる。 &mathjax{1}; を含むイデアルは &mathjax{R}; 自身になるので、 &mathjax{J = R}; がわかる。

以上から、 &mathjax{I}; より大きいイデアルは &mathjax{R}; しかないと分かる。 &mathjax{I}; は極大イデアルである。

** &mathjax{\Longrightarrow}; [#q7e3fc6b]

&mathjax{\overline{x} \neq \overline{0}}; をとると &mathjax{x \notin I}; であるから、

#mathjax((x) + I := \left\{yx + b \mathrel{}\middle|\mathrel{} y \in R, b \in I \right\});

は &mathjax{I}; を真に含むイデアルとなる。 &mathjax{I}; は極大であったから、このイデアルは &mathjax{R}; 自身でしかありえない。したがって &mathjax{1 \in (x) + I}; となる。 &mathjax{yx + b = 1}; を満たす &mathjax{y, b}; が存在することを意味する。このとき任意に &mathjax{i \in I}; をとって両辺に足し、 &mathjax{b}; を移項すれば &mathjax{yx + i = 1 + i - b}; となる。 &mathjax{1 + i - b \in 1 + I}; となり、 &mathjax{i}; を任意に動かすため &mathjax{ \left\{1 + i - b \mathrel{}\middle|\mathrel{} i \in I \right\} = I}; となる。よって、 &mathjax{yx + I = 1 + I}; となる。 &mathjax{\overline{y}\overline{x} = \overline{1}}; となる。したがって &mathjax{R/I}; の世界では任意の &mathjax{\overline{x}}; に逆元 &mathjax{\overline{y}}; があるから、 &mathjax{R/I}; は体である。