極大イデアル の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{I ~(\subset R)}; は &mathjax{R}; のイデアル

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{I}; が極大イデアルであるとは、 &mathjax{I}; を真に含むイデアルが &mathjax{R}; しか存在しないこと。

(&mathjax{R}; 自身は極大イデアルには含まない)

* 例 [#ae2093c7]

&mathjax{\mathbb{Z}}; の極大イデアルの例としては素数 &mathjax{p}; を用いた &mathjax{(p)}; がある (逆にこれだけしかないらしい by Wikipedia) 。
&mathjax{\mathbb{Z}}; の極大イデアルの例としては素数 &mathjax{p}; を用いた  &mathjax{(p)}; がある (逆にこれだけしかないらしい by Wikipedia) 。

考えてみると &mathjax{(p)}; が極大イデアルであることは用意に分かる。素数 &mathjax{p}; と適当な整数 &mathjax{n}; をもってくるとユークリッドの互除法から &mathjax{ap + bn = 1}; となるような &mathjax{a, b}; が存在するので、この両辺を定数倍していけば任意の自然数が &mathjax{p, n}; の結合で表せることになる。つまり &mathjax{<\{p, n\}> = \mathbb{Z}}; となるので、 &mathjax{p}; を真に含むイデアルは &mathjax{R}; しかない。
考えてみると &mathjax{(p)}; が極大イデアルであることは用意に分かる。素数 &mathjax{p}; と適当な整数 &mathjax{n}; をもってくるとユークリッドの互除法から &mathjax{ap + bn = 1}; となるような &mathjax{a, b}; が存在するので、この両辺を定数倍していけば任意の自然数が &mathjax{p, n}; の結合で表せることになる。つまり &mathjax{\langle\{p, n\}\rangle = \mathbb{Z}}; となるので、 &mathjax{p}; を真に含むイデアルは &mathjax{R}; しかない。