整域 の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 整域 へ行く。

* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{R}; が整域であるとは、任意の &mathjax{a, b ~(\in R)}; について、もし &mathjax{a \times b = 0}; となるならば &mathjax{a = 0}; または &mathjax{b = 0}; のいずれかが成立すること。

* 例 [#ae2093c7]

&mathjax{\mathbb{Z}}; は、積が &mathjax{0 }; になるとき一方が必ず &mathjax{0 }; となるので、整域である。

* その他 [#i26b352c]
* その他 [#rb835f3b]

&mathjax{R}; を整域、 &mathjax{a, x, y \in R ~(a \neq 0)}; とするとき、 &mathjax{ax = ay \Longrightarrow x = y}; が言える。
なぜなら、 &mathjax{ax = ay \Longrightarrow ax - ay = 0 \Longrightarrow a(x - y) = 0}; となり、 &mathjax{R}; は整域であるから &mathjax{a = 0}; または &mathjax{x - y = 0}; となるが、 &mathjax{a \neq 0}; としているので &mathjax{x - y = 0}; ということ。よって &mathjax{x = y}; 。
- &mathjax{R}; を整域、 &mathjax{a, x, y \in R ~(a \neq 0)}; とするとき、 &mathjax{ax = ay \Longleftrightarrow x = y};
-- &mathjax{(\Longleftarrow)}; 左から &mathjax{a}; をかけるだけでOK。
-- &mathjax{(\Longrightarrow)}; &mathjax{ax = ay \Longleftrightarrow ax - ay = 0 \Longleftrightarrow a(x - y) = 0}; となり、 &mathjax{R}; は整域であるから &mathjax{a = 0}; または &mathjax{x - y = 0}; となるが、 &mathjax{a \neq 0}; としているので &mathjax{x - y = 0}; が分かる。よって &mathjax{x = y}; 。