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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{a, b ~(\in R)}; は元

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{a}; と &mathjax{b}; が同伴するとは、 &mathjax{a \mid b}; かつ &mathjax{b \mid a}; が成り立つこと。

* 例 [#ae2093c7]

- &mathjax{\mathbb{Z}}; において、例えば &mathjax{4}; と &mathjax{-4}; は同伴する。
- &mathjax{\mathbb{Z}}; において、例えば &mathjax{4}; と &mathjax{4}; や &mathjax{4}; と &mathjax{-4}; は同伴する。
- &mathjax{a}; と &mathjax{b}; が同伴であることと &mathjax{b}; が &mathjax{a}; の単元倍であることは同値である。
(同伴 &mathjax{\Longrightarrow}; 単元倍) まず &mathjax{a \mid b}; より、適当な元 &mathjax{x}; を用いて &mathjax{b = ax}; とおける。次に &mathjax{b \mid a}; より &mathjax{ax \mid a}; となるから、また適当な元 &mathjax{y}; を用いて &mathjax{a = (ax)y}; とおけることになる。したがって &mathjax{xy = 1}; が得られる。つまり、 &mathjax{x, y}; は単元。 &mathjax{b = ax}; であったから、同伴ならば &mathjax{b}; が &mathjax{a}; の単元倍であることになる。
(同伴 &mathjax{\Longleftarrow}; 単元倍) 単元 &mathjax{x}; を用いて &mathjax{b = ax}; と表せるとする。まず &mathjax{a \mid b}; は &mathjax{a \mid ax}; と同値で、後者は成り立つ。次に &mathjax{b \mid a}; であるが、まず &mathjax{xy = 1}; なる元 &mathjax{y}; をもってくると、 &mathjax{b = ax}; の両辺に &mathjax{y}; をかけて適当に順序を交換することで &mathjax{by = axy ~(= a)}; となる。すなわち &mathjax{a = by}; を得る。よって &mathjax{b \mid a}; は &mathjax{b \mid by}; と同値となり、後者は成り立つ。