単項イデアル の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{I ~(\subset R)}; はイデアル

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{I}; が単項イデアルであるとは、ある &mathjax{x ~(\in R)}; があって、 &mathjax{I = \{ax; a \in R\}}; であることをいう。
このような &mathjax{\{ax; a \in R\}}; を &mathjax{x}; の''傍元''という。
&mathjax{I}; が単項イデアルであるとは、ある &mathjax{x ~(\in R)}; があって、 &mathjax{I = \left\{ax \mathrel{}\middle|\mathrel{} a \in R\right\}}; であることをいう。
このような &mathjax{\left\{ax \mathrel{}\middle|\mathrel{} a \in R\right\}}; を &mathjax{x}; の''傍元''という。
&mathjax{x}; による単項イデアルのことを &mathjax{(x)}; と表す。

* イデアルであることの証明 [#r8fecf7c]

イデアルは &mathjax{+}; について部分群であることと、 &mathjax{(x)}; の任意の元について、 &mathjax{R}; の任意の元をかけてもやはり &mathjax{(x)}; の元であることが必要。
単項イデアル &mathjax{(x)}; について証明する。

** &mathjax{+}; について部分群であること [#d9120592]

任意の &mathjax{a'x, b'x ~(\in (x))}; をとる。 &mathjax{a'x + (-(b'x))}; が &mathjax{(x)}; に含まれていればよい。
さて、 &mathjax{b'x}; の加法の逆元 &mathjax{-(b'x)}; は &mathjax{(-b')x}; である。実際これは &mathjax{b'x + (-b')x = (-b')x + b'x = (b' + -b')x = 0x = 0}; となるので正しい。
従って、 &mathjax{a'x + (-(b'x)) = a'x + (-b')x = (a' + (-b'))x = }; となる。 &mathjax{a', (-b')}; はどちらも &mathjax{R}; に属すから &mathjax{a' + (-b')}; も &mathjax{R}; に属す。以上から、 &mathjax{(a' + (-b'))x}; は &mathjax{x}; の傍元 &mathjax{(x)}; に含まれる。よって &mathjax{(x)}; は &mathjax{+}; について部分群である。

** &mathjax{(x)}; の任意の元に &mathjax{R}; の任意の元をかけても &mathjax{(x)}; に属すこと [#i29c5d8b]

任意の &mathjax{y'x ~(\in (x))}; をとる。任意に &mathjax{r ~(\in R)}; をとったとき &mathjax{r(y'x) = (ry')x}; となり、 &mathjax{ry'}; は &mathjax{R}; に属す。すると傍元の定義から &mathjax{(ry')x}; は傍元に含まれる。従って積 &mathjax{r(y'x)}; &mathjax{(x)}; に属す。

* 例 [#ae2093c7]

&mathjax{\mathbb{Z}}; と &mathjax{m ~(\in \mathbb{Z})}; に対して &mathjax{(m)}; は &mathjax{m}; の倍数であり、単項イデアルとなる。