単因子論の基本定理 の変更点

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* (定理) 代数学の基本定理 [#hcad20fe]

** 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は [[PID>単項イデアル整域]]
- &mathjax{M ~(\in M_{m \times n}(R))}; は行列

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{M}; は基本変形をすると、基本行列の積 (正則行列) &mathjax{X_1, X_2 \in \mathrm{GL}_n(R)}; を使って
#mathjax(\left(\begin{matrix}d_1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & d_g & 0 & \cdots & 0 \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\end{matrix}\right) = X_1MX_2);
の形に変形できる。ただし全ての &mathjax{i}; に対して &mathjax{d_i \neq 0, d_i \mid d_{i+1}}; とする。この表示は、各 &mathjax{d_i}; の単元倍を除いて一意的である。

- ようするに行列を rref にできるよ、みたいな話か。

* その他 [#cf87134e]

- &mathjax{R}; が体なら全ての &mathjax{d_i}; は単元であるから、結局全部の &mathjax{i}; が &mathjax{d_i = 1}; となっている (rref) ものと同じものになる。

- &mathjax{R}; が体なら全ての &mathjax{d_i}; は単元であるから、結局全部の &mathjax{i}; が &mathjax{d_i = 1}; となっているもの (rref) と同じものになる。
* 証明 [#m05ff4ad]

がんばる (加筆します) 。