単因子論の基本定理
Last-modified: Sun, 27 Jan 2019 17:20:58 JST (1937d)
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(定理) 代数学の基本定理
仮定
- \( R \) は PID
- \( M ~(\in M_{m \times n}(R)) \) は行列
主張
\( M \) は基本変形をすると、基本行列の積 (正則行列) \( X_1, X_2 \in \mathrm{GL}_n(R) \) を使って
mathjax
\[ \left(\begin{matrix}d_1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & d_g & 0 & \cdots & 0 \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\end{matrix}\right) = X_1MX_2 \]
の形に変形できる。ただし全ての \( i \) に対して \( d_i \neq 0, d_i \mid d_{i+1} \) とする。この表示は、各 \( d_i \) の単元倍を除いて一意的である。
- ようするに行列を rref にできるよ、みたいな話か。
その他
- \( R \) が体なら全ての \( d_i \) は単元であるから、結局全部の \( i \) が \( d_i = 1 \) となっているもの (rref) と同じものになる。
証明
がんばる (加筆します) 。