半直積 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{H, N}; は群
- &mathjax{\theta}; は任意の群準同型写像 &mathjax{\theta: H \longrightarrow \mathrm{Aut}(N)}; 
-- ここの &mathjax{\mathrm{Aut}}; は、 &mathjax{N}; の全ての自己同型写像の集合 (二面体群とかで出てきたアレ) 。

* 定義 [#cd8b54cb]

半直積 &mathjax{H \ltimes N}; を次で定義する。
(外部) 半直積 &mathjax{H \ltimes N}; を次で定義する。

- 集合は、集合としての直積 &mathjax{H \times N}; 。
- 演算は、&mathjax{h_1, h_2 ~(\in H), n_1, n_2 ~(\in N)}; に対して &mathjax{(h_1, n_1) \cdot (h_2, n_2) = (h_1 \cdot h_2, n_1 \cdot (\theta(h_1))(n_2))};


* 例 [#ae2093c7]

- &mathjax{\theta}; を恒等写像とすると、直積となる。
- 各 &mathjax{h}; について &mathjax{\theta(h)}; を恒等写像 (これはもちろん自己同型なので &mathjax{\mathrm{Aut}(N)}; に属する) とすると、通常の直積となる。
-- 半直積は直積を一般化した概念。