半直積

仮定

• \( H, N \) は群
• \( \theta \) は任意の群準同型写像 \( \theta: H \longrightarrow \mathrm{Aut}(N) \)
  • ここの \( \mathrm{Aut} \) は、 \( N \) の全ての自己同型写像の集合 (二面体群とかで出てきたアレ) 。

定義

(外部) 半直積 \( H \ltimes N \) を次で定義する。

• 集合は、集合としての直積 \( H \times N \) 。
• 演算は、\( h_1, h_2 ~(\in H), n_1, n_2 ~(\in N) \) に対して \( (h_1, n_1) \cdot (h_2, n_2) = (h_1 \cdot h_2, n_1 \cdot (\theta(h_1))(n_2)) \)

例

• 各 \( h \) について \( \theta(h) \) を恒等写像 (これはもちろん自己同型なので \( \mathrm{Aut}(N) \) に属する) とすると、通常の直積となる。
  • 半直積は直積を一般化した概念。