剰余類 の変更点

Top > 剰余類
  • 追加された行はこの色です。
  • 削除された行はこの色です。
  • 剰余類 へ行く。
* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{G}; は群
- &mathjax{H}; は &mathjax{G}; の部分群

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{G/H = \{aH; a \in G\}}; を剰余類と呼ぶ。

* 例 [#ae2093c7]

- &mathjax{G = \mathbb{Z}, H = 2\mathbb{Z}, \cdot = +}; (演算は &mathjax{+};) とすると、 &mathjax{G/H = \{H, 1 + H\} \simeq \{0, 1\}};
-- &mathjax{a = 0}; のとき &mathjax{a + H = 0 + H};
-- &mathjax{a = 1}; のとき &mathjax{a + H = 1 + H};
-- &mathjax{a = 2}; のとき &mathjax{a + H = 2 + H}; だが、 &mathjax{H = 2\mathbb{Z}}; であったことを思い出すと &mathjax{2 + H = H}; となる (偶数全体の集合の各要素に 2 を足したものは、やはり偶数全体となるため) 。
-- &mathjax{a = 2}; のとき &mathjax{a + H = 2 + H}; だが、 &mathjax{H = 2\mathbb{Z}}; であったことを思い出すと &mathjax{2 + H = H}; となる (偶数全体の集合の各要素に 2 を足した集合は、やはり偶数全体となるため) 。
-- &mathjax{a = 3}; のとき &mathjax{a + H = 3 + H}; だが、 &mathjax{H = 2\mathbb{Z}}; であったことを思い出すと &mathjax{3 + H = 1 + (2 + H) = 1 + H}; となる。
-- ... 同様にすると、以降 &mathjax{H}; と &mathjax{1 + H}; しか項が出てこない。