作用があるとき分解できる の変更点

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* (定理) 作用があると分解できる [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{G}; は群
- &mathjax{X}; は集合

** 主張 [#f2274f05]

ある &mathjax{X' ~(\subset X)}; が存在して、G-軌道の非交和で
#mathjax(G = \bigsqcup_{x \in X'} G_x);
とできる。
* 証明 [#m05ff4ad]
* 例 [#i0475610]

- 共役作用 &mathjax{G \times G \longrightarrow G: (g, x) \longmapsto gxg^{-1}}; についてこれを適用すると &mathjax{G = \bigsqcup Gx = \bigsqcup \left\{gxg^{-1} \mathrel{}\middle|\mathrel{} g \in G \right\} = \bigsqcup C(x)}; と分解できる (ただし &mathjax{C(x)}; は &mathjax{x}; の共役類 &mathjax{\left\{gxg^{-1} \mathrel{}\middle|\mathrel{} g \in G \right\}}; とする) 。
もし &mathjax{C(x) = \{x\}}; (&mathjax{x}; のみによる群) となるならば、任意の &mathjax{g}; について &mathjax{gx = xg}; が成り立つことになる。つまり &mathjax{x}; は群の中心 &mathjax{Z(G)}; に属す。