乗法群 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{R}; の乗法群 &mathjax{R^{*}}; とは、群 &mathjax{(\{a \in R; a は R の単 元\}, \times)}; 。

* 乗法群が群としての構造を持つことの証明 [#p9cd6097]

- 単位元の存在
&mathjax{1_R ~(\in R)}; は単元であるから、 &mathjax{1_R \in R^{*}}; である。
- 逆元の存在
任意の &mathjax{a ~(\in R^{*})}; は単元であるから逆元が存在する。
- 演算が閉じている
任意の &mathjax{a, b ~(\in R^{*})}; をとる。すると &mathjax{a, b}; については逆元があるので、それらを &mathjax{a^{-1}, b^{-1}}; とおく。すると &mathjax{a \times b}; について、 &mathjax{a \times b \times b^{-1} \times a^{-1} = b^{-1} \times a^{-1} \times a \times b = 1_R}; となるので、 &mathjax{a \times b}; は単元となる。これは乗法群の集合に属する。