乗法群

仮定

• \( R \) は環

定義

\( R \) の乗法群 \( R^{*} \) とは、群 \( (\{a \in R; a は R の単 元\}, \times) \) 。

乗法群が群としての構造を持つことの証明

• 単位元の存在
  \( 1_R ~(\in R) \) は単元であるから、 \( 1_R \in R^{*} \) である。
• 逆元の存在
  任意の \( a ~(\in R^{*}) \) は単元であるから逆元が存在する。
• 演算が閉じている
  任意の \( a, b ~(\in R^{*}) \) をとる。すると \( a, b \) については逆元があるので、それらを \( a^{-1}, b^{-1} \) とおく。すると \( a \times b \) について、 \( a \times b \times b^{-1} \times a^{-1} = b^{-1} \times a^{-1} \times a \times b = 1_R \) となるので、 \( a \times b \) は単元となる。これは乗法群の集合に属する。