ネーター環 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環

* 定義 [#cd8b54cb]

以下の同値な条件のいずれかを満たすとき、 &mathjax{R}; はネーター環であるという。

1. 任意の &mathjax{R}; のイデアルが有限生成。
2. &mathjax{R}; のイデアルの任意の昇鎖列は有限回で停止する。
すなわち &mathjax{I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \cdots}; となるようなイデアル &mathjax{I_i ~(\subset R)}; をとったとき、あるイデアル &mathjax{I_\infty}; とある整数 &mathjax{N}; が存在して、 &mathjax{n \geqq N}; ならば &mathjax{I_n = I_\infty}; を満たす。

* 証明 [#le5efc55]

(1 &mathjax{\Longrightarrow}; 2)
適当なイデアルの昇鎖列 &mathjax{I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \cdots}; を用意する。
ここで &mathjax{I_\infty = \bigcup_{i=0}^\infty I_i}; とすると、仮定よりこれは有限生成。よって、ある元 &mathjax{r_1, \cdots, r_n \in R}; が存在して、 &mathjax{\langle\{r_1, \cdots, r_n\}\rangle = I_\infty}; となっている。 &mathjax{I_\infty}; の定義から、どの &mathjax{r_i}; もイデアルのどれか ( &mathjax{I_{j_i}}; とする) に含まれている。イデアル同士には包含関係があるので、 &mathjax{j_i}; より大きい全ての &mathjax{k}; で &mathjax{r_i \in I_k}; が成り立つ。よって、この &mathjax{j_i}; の最大値を &mathjax{N}; とすると、 &mathjax{I_N \supset \langle\{r_1, \cdots, r_n\}\rangle = I_\infty}; となる。すると &mathjax{I_N \subset I_\infty}; かつ &mathjax{I_N \supset I_\infty}; が分かるので、 &mathjax{I_N = I_\infty}; となる。

(2 &mathjax{\Longrightarrow}; 1)
背理法で示す。有限生成でないイデアル &mathjax{I}; が存在するとする。すると、このとき &mathjax{r_1 \in I}; をとって &mathjax{I_1 = (r_1)}; とすると &mathjax{(r_1) = I_1 \subset I};
次に &mathjax{r_2 \in I \setminus \{r_1\}}; をとってきて &mathjax{I_2 = \langle\{r_1, r_2\}\rangle}; とすると &mathjax{I_1 \subset I_2 \subset I}; となる。これを繰り返すと &mathjax{I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \cdots}; となり、 &mathjax{I}; が有限生成ではないから &mathjax{r_i}; が次々と無限にとれてしまう。これは昇鎖列が有限回で停止することに矛盾する。よって仮定が誤りで、イデアル &mathjax{I}; は有限生成であった。
次に &mathjax{r_2 \in I \setminus (r_1)}; をとってきて &mathjax{I_2 = \langle\{r_1, r_2\}\rangle}; とすると &mathjax{I_1 \subset I_2 \subset I}; となる。これを繰り返すと &mathjax{I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \cdots}; となり、 &mathjax{I}; が有限生成ではないから &mathjax{r_i}; が次々と無限にとれてしまう。これは昇鎖列が有限回で停止することに矛盾する。よって仮定が誤りで、イデアル &mathjax{I}; は有限生成であった。

* 例 [#ae2093c7]

- [[PID>単項イデアル整域]] は任意のイデアルが単項イデアルなので、もちろん有限生成であって、ネーター環。
- &mathjax{\mathbb{Z}}; は [[PID>単項イデアル整域]] なのでネーター環。
- ネーター環の剰余環はネーター環。
- ネーター環の部分環はネーター環とは限らない。

* その他 [#le9ec1f6]

- ネーター環は、定義から、単項イデアル整域の拡張と見ることもできる。
- ネーター環が整域でもあるとき、ネーター整域という。