環準同型写像 のバックアップ(No.2)

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• 環準同型写像 へ行く。
  • 1 (2018-12-25 (火) 09:28:35)
  • 2 (2019-01-08 (火) 15:56:15)

仮定

• \( R_1, R_2 \) は環
• \( f \) は写像 \( f: R_1 \longrightarrow R_2 \)
• \( 1_R \) は \( R \) の乗法の単位元
• \( 0_R \) は \( R \) の加法の単位元

定義

\( f \) が環準同型写像であるとは、次の条件を全て満たすこと。

• \( f(1_R) = 1_R \)
• \( f(0_R) = 0_R \)
• \( + \) について群準同型写像である、すなわち \( f(x+y) = f(x) + f(y) \)
• \( \times \) を保つ、すなわち \( f(x \times y) = f(x) \times f(y) \)
  一応 \( \times \) について環は群ではないので、群準同型写像と同じ条件だけれどもそうとは呼ばない。

例

• 整数環 \( \mathbb{Z} \) から実数体 \( \mathbb{R} \) へ恒等写像みたいなものを用意するとこれは環準同型写像のはず。
• 環 \( R \) からそのイデアルによる剰余類環 \( R/I \) への写像 \( r \longmapsto r+I \) は自然な環準同型写像。