単元 のバックアップ(No.2)

仮定

  • \( R \) は環

定義

\( a \in R \) が単元であるとは、ある \( b \in R \) が存在して \( ab = ba = 1_R \) を満たすこと。

環については一般には乗法の逆元は存在しないが、それでもその中の逆元がある元ということ。

その他

なんか別に何もなさそうな定義だけど、実はけっこうすごい。たとえば単元による単項イデアル (傍元) は \( R \) になる。
(\( x \) が単元なら逆元 \( x^{-1} \) がある。任意の元 \( a \) に対して \( ax^{-1} \) は \( R \) に属しているはずなので、逆に傍元を考えるとき、いつかは \( (ax^{-1}) x \) という項を考えることがある。このときの積が \( a \) になるので、結局、任意の元は傍元を考えるときに現れることになる。)