半直積 のバックアップ(No.2)

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• 半直積 へ行く。
  • 1 (2018-11-20 (火) 14:03:40)
  • 2 (2018-12-11 (火) 13:49:59)
  • 3 (2019-04-23 (火) 13:54:55)

仮定

• \( H, N \) は群
• \( \theta \) は任意の準同型写像 \( \theta: H \longrightarrow \mathrm{Aut}(N) \)
  • ここの \( \mathrm{Aut} \) は、 \( N \) の全ての自己同型写像の集合 (二面体群とかで出てきたアレ) 。

定義

半直積 \( H \ltimes N \) を次で定義する。

• 集合は、集合としての直積 \( H \times N \) 。
• 演算は、\( h_1, h_2 ~(\in H), n_1, n_2 ~(\in N) \) に対して \( (h_1, n_1) \cdot (h_2, n_2) = (h_1 \cdot h_2, n_1 \cdot (\theta(h_1))(n_2)) \)

例

• \( \theta \) を恒等写像とすると、直積となる。
  • 半直積は直積を一般化した概念。