R係数行列 のバックアップ(No.1)

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• R係数行列 へ行く。
  • 1 (2019-01-27 (日) 16:30:15)

仮定

• \( R \) は環
• \( E_n \) は \( n \) 次正方行列

定義

• \( R \) 係数 \( m \times n \) 行列全体を \( M_{m \times n}(R) \) とかく。
• \( m = n \) のとき、
  • \( \mathrm{GL}_n(R) := \left\{M \mathrel{}\middle|\mathrel{} \exists M' \in M_{n\times n}(R) ~\mathrm{s.t.}~ MM' = M'M = E_n\right\} \)
    • 正則行列？
  • \( \mathrm{SL}_n(R) := \left\{M \mathrel{}\middle|\mathrel{} \exists M' \in M_{n\times n}(R) ~\mathrm{s.t.}~ MM' = M'M = E_n ~,~ \det M = 1\right\} \)
    • 直交行列より少し強い ( \( \det M = \pm 1 \) なら直交行列となる)

その他

\( M_{n \times n}(R) \supset \mathrm{GL}_n(R) \supset \mathrm{SL}_n(R) \)