逆元の一意性 のバックアップ(No.1)
- バックアップ一覧
- 差分 を表示
- 現在との差分 を表示
- 現在との差分 - Visual を表示
- ソース を表示
- 逆元の一意性 へ行く。
- 1 (2018-11-02 (金) 22:16:48)
- 2 (2019-01-09 (水) 17:26:42)
(命題) 逆元の一意性
\( G \) を群とする。任意の元 \( g \in G \) に対し、その逆元 \( g^{-1} \) は一意に存在する。
証明
仮に \( g \) に対して異なる二つの逆元があると仮定する。それらの逆元を \( a, b ~ (a \neq b) \) とする。
このとき、積 \( agb \) を考えると、結合法則より
mathjax
\[ agb = (ag)b = eb = b \]
かつ
mathjax
\[ agb = a(gb) = ab = a \]
となる。従って \( a = b \) となるが、これは矛盾。よって仮定は誤りであり、 \( g \) の逆元は一意に存在する。