環R上の加群 のバックアップ(No.1)

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• 環R上の加群 へ行く。
  • 1 (2019-01-27 (日) 03:14:34)
  • 2 (2019-01-27 (日) 11:48:14)

仮定

• \( M \) はアーベル群
• \( \cdot \) は写像 \( \cdot: R \times M \longrightarrow M \)

定義

\( (M, \cdot) \) の組がR-加群であるとは、次の3つの条件を全て満たすことを言う:

1. \( \cdot \) が \( R \) について双線形
   すなわち、

   mathjax

   \[ r\cdot (m_1 + m_2) = r\cdot m_1 + r\cdot m_2 \]

   mathjax

   \[ (r_1 + r_2)\cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m \]
2. 任意の \( r_1, r_2 ~(\in R) \) と任意の \( m ~(\in M) \) について、

   mathjax

   \[ r_1\cdot(r_2\cdot m) = (r_1\cdot r_2)\cdot m \]
3. \( 1 \cdot m = m \) が成り立つこと。

ちなみに任意の \( r ~(\in R) \) と \( m ~(\in M) \) について \( 0_R \cdot m = r \cdot 0_M = 0 \) が成り立つことは (たぶん) 導ける。

例

• \( R \) が体 \( K \) であるとき、 R-加群は \( K \) 上のベクトル空間となる。