環 のバックアップ(No.1)

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  • 1 (2018-12-11 (火) 12:09:09)
  • 2 (2018-12-11 (火) 14:21:34)
  • 3 (2019-01-25 (金) 18:21:47)

仮定

• \( R \) は集合
• \( + \) は二項演算
• \( \times \) は二項演算

定義

\( (R,+,\times) \) の組が次の条件を満たすとき、これを環と言う。

• \( + \) について
  • \( (R,+) \) が可換な群
• \( \times \) について
  • \( (R,\times) \) がモノイド
    • ある \( 1_R \in R \) があって、任意の \( a \in R \) に対して \( a \times 1_R = 1_R \times a = a \) を満たす。
    • 任意の \( a, b, c \in R \) に対して \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
  • 任意の \( a, b, c \in R \) に対して \( (a + b) \times c = a \times c + b \times c \)
  • 任意の \( a, b, c \in R \) に対して \( c \times (a + b) = c \times a + c \times b \)

例

\( \mathbb{Z} \) は環となる。