単因子論の基本定理 のバックアップ(No.1)
仮定
- \( R \) は PID
- \( M ~(\in M_{m \times n}(R) \) は行列
定義
\( M \) は基本変形をすると、基本行列の積 \( X_1, X_2 \in \mathrm{GL}_n(R) \) を使って
mathjax
\[ \left(\begin{matrix}d_1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & d_g & 0 & \cdots & 0 \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\end{matrix}\right) = X_1MX_2 \]
の形に変形できる。この表示は、各 \( d_i \) の単元倍を除いて一意的である。
- ようするに行列を RREF にできるよ、みたいな話か。