半直積 のバックアップ(No.1)

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• 半直積 へ行く。
  • 1 (2018-11-20 (火) 14:03:40)
  • 2 (2018-12-11 (火) 13:49:59)
  • 3 (2019-04-23 (火) 13:54:55)

仮定

• \( H, N \) は群
• \( \theta \) は写像 \( \theta: H \longrightarrow \mathrm{Aut}(N) \) であって、任意の \( h ~(\in H) \) について \( \theta(h) = (n \longmapsto hnh^{-1}) \)
  • ここの \( \mathrm{Aut} \) は、 \( N \) の全ての自己同型写像の集合 (二面体群とかで出てきたアレの正体っぽい) 。

定義

半直積 \( H \ltimes N \) を次で定義する。

• 集合は、集合としての直積 \( H \times N \) 。
• 演算は、\( h_1, h_2 ~(\in H), n_1, n_2 ~(\in N) \) に対して \( (h_1, n_1) \cdot (h_2, n_2) = (h_1 \cdot h_2, n_1 \cdot (\theta(h_1))(n_2)) \)

免責

• \( n \longmapsto hnh^{-1} \) なんてものが計算できるのはまず不思議な話なので、たぶん条件が抜けてる。
• Wikipedia によると「内部半直積」というものを先に定義していて、 \( G \) を内部半直積とした上で、 \( H < G, N \lhd G \) としているのでこの演算ができる (しかもそれなら \( hnh^{-1} \) が \( N \) におさまる) 。

例

• 直積は \( \theta \) が恒等写像となるときをいう。
  • でもそれはこの定義では現れないね...たぶん。