部分R-加群

仮定

• \( R \) は環
• \( M \) は R-加群
• \( N ~(\subset M) \) は \( M \) の部分アーベル群

定義

\( N \) が部分R-加群であるとは、演算が "閉じている" ことを言う。つまり

なお \( RN \) は\( \left\{r\cdot n \mathrel{}\middle|\mathrel{} r \in R, n \in N \right\} \) である。

例

• \( R \) のイデアル \( I \) は \( M \) の部分R-加群である。
• \( I \) を \( R \) のイデアル、 \( M \) をR-加群とするとき、

  mathjax

  \[ IM := \left\{\left(\sum_{j=1}^m a_j m_j\right) ~(\in M) \mathrel{}\middle|\mathrel{} m \in \mathbb{N}, a_j \in I, m_j \in M \right\} \]
  は \( M \) の部分R-加群である。
• \( M \) の任意の部分集合 \( S \) について、

  mathjax

  \[ \langle S\rangle := \left\{\left(\sum_{j=1}^m a_j s_j\right) ~(\in M) \mathrel{}\middle|\mathrel{} m \in \mathbb{N}, a_j \in R, s_j \in S \right\} \]
  とするとき、 \( \langle S\rangle \) を \( S \) で生成される \( M \) の部分R-加群であるという。