環準同型写像

仮定

• \( R_1, R_2 \) は環
• \( f \) は写像 \( f: R_1 \longrightarrow R_2 \)
• \( 1_{R_1}, 1_{R_2} \) はそれぞれ \( R_1, R_2 \) の乗法の単位元
• \( 0_{R_1}, 1_{R_2} \) はそれぞれ \( R_1, R_2 \) の加法の単位元

定義

\( f \) が環準同型写像であるとは、次の条件を全て満たすこと。

• \( f(1_{R_1}) = 1_{R_2} \)
• \( f(0_{R_1}) = 0_{R_2} \)
• \( + \) について群準同型写像である、すなわち \( f(x+y) = f(x) + f(y) \)
• \( \times \) を保つ、すなわち \( f(x \times y) = f(x) \times f(y) \)
  一応 \( \times \) について環は群ではないので、群準同型写像と同じ条件だけれどもそうとは呼ばない。

例

• 整数環 \( \mathbb{Z} \) から実数体 \( \mathbb{R} \) へ恒等写像みたいなものを用意するとこれは環準同型写像のはず。
• 環 \( R \) からそのイデアルによる剰余類環 \( R/I \) への写像 \( r \longmapsto r+I \) は自然な環準同型写像。