核
freeze
仮定
定義
\( f \) の核 \( \mathrm{Ker} f \) とは、 \( f \) によって単位元に写る \( G_1 \) の元の集合 \( \{x \in G_1; f(x) = e\} \) である。
すなわち逆像 \( f^{-1}(\{e\}) \) ということかな？
環に対する定義
環同型写像に対する核も同様に定義する。
核に関する事実
- \( e_1 ~(\in G_1), e_2 ~(\in G_2) \) を単位元とする。
\( f \) が単射 \( \Longleftrightarrow \) \( \mathrm{Ker} f = \{e_1\} \)
\( f \) が単射 \( \Longrightarrow \) \( \mathrm{Ker} f = \{e_1\} \)
まず、 \( e_1 \in \mathrm{Ker}f \) は言える。
もしここで \( e_1 \) 以外の元 \( a \) が \( \mathrm{Ker}f \) に含まれているとすると、 \( f(a) = e_2 \) かつ \( f(e_1) = e_2 \) となってしまうが、これは \( f \) の単射性に反する。従って \( \mathrm{Ker} f \) には \( e_1 \) 以外の元は存在しない。
\( f \) が単射 \( \Longleftarrow \) \( \mathrm{Ker} f = \{e_1\} \)
\( f \) が単射でないと仮定する。つまり、ある \( a, b ~(\in G_1) \) (ただし \( a \neq b \)) に対して \( f(a) = f(b) \) であるとする。
両辺に左から \( \{f(a)\}^{-1} \) をかけると \( e_2 = \{f(a)\}^{-1}f(b) \) となる。 \( \{f(a)\}^{-1} = f(a^{-1}) \) であるから、 \( e_2 = f(a^{-1})f(b) = f(a^{-1}b) \) となる。
よって \( a^{-1}b \in \mathrm{Ker}f \) となり、仮定から \( a^{-1}b = e_1 \) である。両辺に左から \( a \) をかけると、 \( a = b \) となる。これは矛盾する。
従って、 \( f \) は単射である。