剰余類群のR-加群構造

仮定

• \( R \) は環
• \( M \) はR-加群
• \( N \) は \( M \) の部分R-加群

定義

剰余類群 \( M/N \) に定数倍写像を次のように定義すると、 \( M/N \) はR-加群となる:
任意の \( r ~(\in R) \) と \( m+N ~(\in M/N) \) に対して

証明

(well-definedness)

\( m_1 + N = m_2 + N \) だったとすると \( m_1 - m_2 \in N \) である。

ここで \( r(m_1 + N) = rm_1 + N \) 、 \( r(m_2 + N) = rm_2 + N \) である。

ところで \( r(m_1 - m_2) \in N \) は \( M \) が \( R \)-加群なのでよい。すると \( rm_1 - rm_2 \in N \) がなりたつから、 \( rm_1 + N = rm_2 + N \) となる。

したがってこの演算は well-defined 。