R-加群の直積と直和 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{\{M_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}}; はR-加群の集合

* 定義 [#cd8b54cb]

- 直積: 環の直積 &mathjax{\displaystyle \prod_{\lambda \in \Lambda}}; は、単に直積集合であって、和を成分ごとの和、定数倍を全成分への定数倍として定義したもの。つまり:
#mathjax(\prod_{\lambda\in\Lambda} := \left\{(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mathrel{}\middle|\mathrel{} m_\lambda \in M_\lambda \right\});
- 直和: 環の直和 &mathjax{\displaystyle \bigoplus_{\lambda \in \Lambda}}; は、直積集合に含まれる元のうち、有限個の成分を除いて他の成分が全て 0 になるものを集めたもの。つまり:
#mathjax(\bigoplus_{\lambda\in\Lambda} := \left\{(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mathrel{}\middle|\mathrel{} m_\lambda \in M_\lambda, ~m_\lambda ~\mathrm{is~0~for~all}~ \lambda ~\mathrm{but~finitely~many}~ \lambda. \right\});
#mathjax(\bigoplus_{\lambda\in\Lambda} := \left\{(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mathrel{}\middle|\mathrel{} m_\lambda \in M_\lambda, ~m_\lambda ~\mathrm{は有限個の}~ \lambda ~\mathrm{を除いて全て}~ 0 \right\});

* 例 [#k3c5906e]

- &mathjax{R = \mathbb{Z}}; のとき、 &mathjax{k_1, \cdots, k_a \in \mathbb{N}}; として
#mathjax(M = \mathbb{Z}^{\oplus n} \oplus (\mathbb{Z}/k_1\mathbb{Z}) \oplus \cdots \oplus (\mathbb{Z}/k_a\mathbb{Z}));
は&mathjax{\mathbb{Z}};-加群。

* その他 [#xfb5f6b1]

- 直積、直和については扱う対象によって別の定義があるような状態で、どれが定義なのかがよく分かっていない。上の定義は一応ノートにあったから正しいはず。
- 上の定義から分かるように、任意個の和については直積と直和は異なる。しかし、有限個の場合には直積と直和は一致する。