R-加群の準同型定理 の変更点
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* (定理) R-加群の準同型定理 [#hcad20fe] ** 仮定 [#uc306db7] - &mathjax{R}; は環 - &mathjax{M_1, M_2}; はR-加群 - &mathjax{f: M_1 \longrightarrow M_2}; はR-準同型 - &mathjax{\phi: M_1 \longrightarrow M_2}; はR-準同型 ** 主張 [#f2274f05] &mathjax{M_1/\mathrm{Ker}f \simeq \mathrm{Image}f}; &mathjax{M_1/\mathrm{Ker}\phi \simeq \mathrm{Image}\phi}; &mathjax{\simeq}; はR-加群としての同型である。 * 証明 [#m05ff4ad] 後々加筆する。 以下では &mathjax{N = \mathrm{Ker}\phi}; とする。 &mathjax{\bar{\phi}}; を、任意の &mathjax{g \in M_1}; に対して &mathjax{\bar{\phi}(gN) = \phi(g)}; と定義すればこれが &mathjax{R};-同型写像になっていることを示す。 まず、 &mathjax{\bar{\phi}}; が well-defined であることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。 &mathjax{\bar{\phi}}; が群に関して準同型となっていることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。 &mathjax{\bar{\phi}}; が積を保つことは、 &mathjax{r\bar{\phi}(mN) = r\phi(m) = \phi(rm) = \bar{\phi}(rmN)}; であるからよい。 以上から、 &mathjax{\bar{\phi}}; は &mathjax{R};-準同型である。 また、これが全単射であることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。 従って &mathjax{\bar{\phi}}; は &mathjax{R};-同型写像である。