R-加群の中国剰余定理 の変更点

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* (定理) R-加群の中国剰余定理 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は [[PID>単項イデアル整域]] (なので [[UFD>一意分解整域]] でもある)
- &mathjax{a ~(\in R)}; は素元でも単元でもない元
- &mathjax{a = p_1^{l_1}\cdots p_g^{l_g}}; は &mathjax{a}; の素元分解であり、 &mathjax{p_1, \cdots, p_g}; はどの二つも異なる。
** 主張 [#f2274f05]

環としてもR-加群としても同型な写像 &mathjax{\displaystyle \phi: R/(a) \longrightarrow \prod_{i = 1}^g (R/P_i^{l_i})}; が存在する。

環としてもR-加群としても同型な写像 &mathjax{\displaystyle \phi: R/(a) \longrightarrow \prod_{i = 1}^g \left(R/P_i^{l_i}\right)}; が存在する。
* 証明 [#m05ff4ad]

まず &mathjax{\phi}; を次のようにつくる:
#mathjax(r + (a) \longmapsto \left(r + (p_1^{l_1}), \cdots, r + (p_g^{l_g})\right));
これの

+ well-definedness
+ 準同型
+ 全単射

を示す。

** well-defined [#e14e444c]

well-definedness を示す。とりあえず &mathjax{r_1 + (a) = r_2 + (a)}; とするとき、 &mathjax{r_1 - r_2 \in (a)}; が成り立っているから、 &mathjax{a' ~(\in (a))}; を用いて &mathjax{r_1 = r_2 + a'}; とかける。すると、
#mathjax(\left\lceil\phi(r_1 + (a)) = \left(r_1 + (p_1^{l_1}), \cdots, r_1 + (p_g^{l_g})\right)\right\rfloor = \left(r_2 + a' + (p_1^{l_1}), \cdots, r_2 + a' + (p_g^{l_g})\right));
ところで、すべての &mathjax{i}; で &mathjax{p_i^{l_i} \mid a}; より &mathjax{(a) \subset (p_i^{l_i})}; であるから、 &mathjax{a' \in (p_i^{l_i})}; となる。よって、
#mathjax(\left\lceil\left(r_2 + a' + (p_1^{l_1}), \cdots, r_2 + a' + (p_g^{l_g})\right) = \left(r_2 + (p_1^{l_1}), \cdots, r_2 + (p_g^{l_g})\right)\right\rfloor = \phi(r_2 + (a)));
従って、 &mathjax{r_1 + (a) = r_2 + (a)}; のとき、確かに &mathjax{\phi(r_1 + (a)) = \phi(r_2 + (a))}; となり well-defined 。

** 準同型 [#z436a449]

実際に計算する。後々加筆します。

** 全単射 [#naed5197]

*** 単射 [#gcc01c40]

準同型写像なので、単射を示すには &mathjax{\mathrm{Ker}\phi = \{0\}}; を示せばよい。
そのためには、 &mathjax{\left\lceil\phi(r + (a)) = \left(r + (p_i^{l_i}), \cdots, r + (p_g^{l_g})\right)\right\rfloor = (0, \cdots, 0)}; となるような &mathjax{r}; は &mathjax{r \in (a)}; となることを示せばよい。
各成分同士で比較すると、全ての &mathjax{i}; で &mathjax{p_i^{l_i} \mid r}; が分かる。もともと &mathjax{a = p_1^{l_1} \cdots p_g^{l_g}}; であったことを思い出すと、 &mathjax{r}; は &mathjax{(a)}; の倍数であることが分かる。よって &mathjax{r \in (a)}; である。

*** 全射 [#d3f4b55a]

かなり頑張る (後々加筆します) 。