Rの直和とR-加群が同型 の変更点

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* (定理) 直和とR-加群が同型 [#hcad20fe]
* (定理) Rの直和とR-加群が同型 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{M}; は自由R-加群
- &mathjax{\{m_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}}; は基底

** 主張 [#f2274f05]

写像 &mathjax{\phi}; を
#mathjax(\phi: \bigoplus_{\lambda\in\Lambda} R \longrightarrow M: \{r_\lambda\} \longmapsto \sum_{\lambda\in\Lambda}r_\lambda m_\lambda);
と定義すると、 &mathjax{\phi}; はR-加群としての同型写像。

* 証明 [#m05ff4ad]

まずは &mathjax{\phi}; がR-準同型写像であることを示す。
&mathjax{r ~(\in R)}; と &mathjax{\{r_\lambda\}~(\in \bigoplus_{\lambda\in\Lambda} R)}; に対し、
#mathjax(\phi(r\{r_\lambda\}) = \phi(\{rr_\lambda\}) = \sum_{\lambda\in\Lambda} rr_\lambda m_\lambda = r\sum_{\lambda\in\Lambda}r_\lambda m_\lambda = r\phi(\{r_\lambda\})); であるから成立。
次に &mathjax{\phi}; が全単射であることを示す。しかしこれは &mathjax{\{m_\lambda\}}; が基底であることと同値である。