PID は UFD の変更点

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* (定理) PID は UFD [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は [[PID>単項イデアル整域]]

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{R}; は [[UFD>一意分解整域]] でもある。

* 証明 [#m05ff4ad]

なんかむずかしそう？？？
&mathjax{R}; は [[PID>単項イデアル整域]] なので、単元でも零元でもない元 &mathjax{a}; は既約分解できる。したがって、 [[PID>単項イデアル整域]] の既約元が素元であることを示せば、これは &mathjax{a}; が素元分解できることになるので、 [[UFD>一意分解整域]] である。
まず &mathjax{p}; を既約元とする。 &mathjax{ab \in (p)}; となる &mathjax{a, b}; に対して、 &mathjax{p}; と &mathjax{a}; が生成するイデアル &mathjax{\langle\{p, a\}\rangle}; を考えると、 [[PID>単項イデアル整域]] の任意のイデアルは単項イデアルであることから、これも単項イデアルである。つまり何か元 &mathjax{c}; を使って &mathjax{\langle\{p, a\}\rangle = (c)}; と表せることになる。
&mathjax{p, a}; が &mathjax{c}; の傍元に属しているということは、ある &mathjax{d, e}; があって、 &mathjax{p = dc}; と &mathjax{a = ec}; と表せることを意味する。 &mathjax{p}; は既約元であるから、 &mathjax{c}; が単元であるか &mathjax{d}; が単元であるかのいずれかが成り立つ。 &mathjax{d}; に注目すると &mathjax{d}; が単元であるか &mathjax{d}; が &mathjax{p}; の単元倍であることがわかる。
- &mathjax{d}; が単元だとする。逆元 &mathjax{d^{-1}}; をもってくる。 &mathjax{p = dc}; より &mathjax{d^{-1}p = c}; となる。 &mathjax{a = ec}; だったから、 &mathjax{a = ec = e(d^{-1}p)}; とかける。つまり、 &mathjax{p \mid a}; が成立。これは &mathjax{a \in (p)}; に他ならない。
- &mathjax{d}; が &mathjax{p}; の単元倍であるとする。このとき単元 &mathjax{f}; を使って &mathjax{d = fp}; となっているから、 &mathjax{p = fpc}; より &mathjax{1 = fc}; となる。すなわち &mathjax{c}; は単元。単元の生成するイデアルは &mathjax{R}; 全体となるから、 &mathjax{(c) = R}; ということになる。 &mathjax{\langle\{a,p\}\rangle = (c)}; だったから &mathjax{\langle\{a,p\}\rangle = R}; である。 &mathjax{1 \in \langle\{a,p\}\rangle}; より、 &mathjax{ga + hp = 1}; となる元 &mathjax{g, h}; が存在する。両辺に &mathjax{b}; をかけると &mathjax{gab + hbp = b}; となる。 &mathjax{ab \in (p)}; という最初の仮定を思い出すと、 &mathjax{ab = ip}; となる元 i が存在する。よって、 &mathjax{gip + hbp = b}; が得られるが、左辺は &mathjax{(gi + hb)p}; であるから、 &mathjax{p \mid b}; が成立する。これは &mathjax{b \in (p)}; に他ならない。
以上より、 &mathjax{ab \in (p)}; のとき &mathjax{a \in (p)}; または &mathjax{b \in (p)}; が成立するので、 &mathjax{(p)}; は素イデアルである。よって &mathjax{p}; は素元である。