集合により生成されるイデアル の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{S}; は部分集合 &mathjax{S ~(\subset R)};

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{\langle S\rangle = \left\{s_1x_1 + s_2x_2 + s_3x_3 + \cdots + s_mx_m \mathrel{}\middle|\mathrel{} s_i \in \{+, -\} ~(符号), x_i \in S ~(x_i は重複してもよい) \right\}};

これは単項イデアルの一般化になっていて、任意の部分集合 &mathjax{S}; が生成するイデアルと考えられる。ここでの''生成''は、 &mathjax{+}; について行う。

同じことだが、いろいろと表記がありえる。例えば、可換性と結合法則を用いて同じ &mathjax{x_i}; についてまとめると、
#mathjax(\langle S\rangle = \left\{a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \cdots + a_nx_n \mathrel{}\middle|\mathrel{} a_i \in S\right\} );
#mathjax(\langle S\rangle = \left\{r_1x_1 + r_2x_2 + r_3x_3 + \cdots + r_nx_n \mathrel{}\middle|\mathrel{}  r_i \in R, x_i \in S\right\});
とかける。さらにこれを
#mathjax(\langle S\rangle = \left\{\sum_{i} a_ix_i \mathrel{}\middle|\mathrel{} a_i \in R, x_i \in S ~ただし有限個の i を除いて a_i は 0 \right\} );
#mathjax(\langle S\rangle = \left\{\sum_{i} r_ix_i \mathrel{}\middle|\mathrel{} r_i \in R, x_i \in S ~ただし有限個の i を除いて r_i は 0 \right\} );
と書けば、ノートの表記になる。

* イデアルであることの証明 [#l8a1008c]

** 部分群であること [#g3b91e1a]

そのためには &mathjax{ab^{-1}}; がまた &mathjax{\langle S\rangle}; に属すことを言えばよい。ここでは演算は &mathjax{+}; なのでこれは &mathjax{a - b}; が &mathjax{\langle S\rangle}; に属していることと同じ。
#mathjax( \sum_{i} a_ix_i - \sum_{i} b_ix_i = \sum_{i}(a_i - b_i)x_i );
であるから、 &mathjax{(a_i - b_i)}; は (仮に &mathjax{a_i \neq 0}; と &mathjax{b_i \neq 0}; となる &mathjax{i}; が一切重なっていなくても、せいぜい (有限+有限) 個しか &mathjax{c_i \neq 0}; となる &mathjax{i}; がないため) 有限個の &mathjax{i}; を除いて &mathjax{c_i}; は 0 となる。従ってこれも &mathjax{I}; に属する。

** 定数倍で閉じていること [#p71bddc8]

任意の &mathjax{c ~(\in R)}; に対して &mathjax{c(\sum_{i} a_ix_i) = \sum_{i} (ca_i)x_i}; とでき、有限個以外の [[0 は定数倍しても 0>環#bc8e50f3]] のままなので、これもまた &mathjax{I}; に属している。