群準同型写像 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{(G_1, \cdot), (G_2, \cdot)}; はどちらも群
- 写像 &mathjax{f}; は &mathjax{f: G_1 \longrightarrow G_2};

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{f}; が準同型 (写像) であるとは、 &mathjax{x, y \in G_1}; について、 &mathjax{f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)}; を満たすこと。

* 例 [#ae2093c7]

&mathjax{(\mathbb{Z}, +)}; と &mathjax{(2\mathbb{Z}, +)}; について、 &mathjax{f: n \longrightarrow 2n}; は準同型写像。なぜなら
#mathjax(f(n) + f(m) = 2n + 2m);
かつ
#mathjax(f(n + m) = 2(n + m) = 2n + 2m);
となり、 &mathjax{f(n) + f(m) = f(n + m)}; を満たすため。

* その他 [#ua2a15ee]

** 準同型写像 &mathjax{f}; は、単位元を単位元へ写す [#g0fb4785]

&mathjax{e_1, e_1}; をそれぞれの単位元 &mathjax{e_1\in G_1, e_2 \in G_2}; とする。

準同型写像の性質から
#mathjax(f(e_1)f(e_1) = f(e_1e_1));
となる。また &mathjax{e_1}; は単位元なので
#mathjax(f(e_1e_1) = f(e_1));
である。よって
#mathjax(f(e_1)f(e_1) = f(e_1));
両辺に右から &mathjax{(f(e_1))^{-1}}; をかけると
#mathjax(f(e_1) = e_2);
となる。

** 準同型写像 &mathjax{f}; は、任意の &mathjax{x~(\in G_1)}; について、 &mathjax{f(x^{-1}) = \{f(x)\}^{-1}}; [#vc68df4f]

&mathjax{e_1~(\in G_1), e_1~(\in G_2)}; をそれぞれ単位元とする。
&mathjax{e_1~(\in G_1), e_2~(\in G_2)}; をそれぞれ単位元とする。

準同型写像の定義により
#mathjax(f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(e_1));
上の性質により
#mathjax(f(e_1) = e_2);
よって
#mathjax(f(x)f(x^{-1}) = e_2);
両辺に左から &mathjax{\{f(x)\}^{-1}}; をかけると
#mathjax(f(x^{-1}) = \{f(x)\}^{-1});
を得る。