素元は既約元 の変更点

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* (定理) 素元ならば既約元 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{R}; は整域
- &mathjax{p ~(\in R)}; は素元

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{p}; は既約元である。

* 証明 [#m05ff4ad]

&mathjax{p = ab}; とする。 &mathjax{ab \in (p)}; であり、 &mathjax{(p)}; は素元の定義から素イデアルであるから、 &mathjax{a \in (p)}; または &mathjax{b \in (p)}; が成り立つ。
&mathjax{a \in (p)}; とすると、ある &mathjax{R}; の元 &mathjax{c}; によって &mathjax{a = cp}; と書けることになる。可換なので &mathjax{cp = pc}; 。すると &mathjax{p = ab = (pc)b}; となるから、 &mathjax{p = pcb}; の両辺を &mathjax{p}; で割って &mathjax{1 = cb}; となる。したがって &mathjax{c}; は &mathjax{b}; の逆元なので、 &mathjax{b, c}; は単元である。特に、どのような積 &mathjax{ab}; についても &mathjax{b}; が単元になる。これは、 &mathjax{p = ab}; が既約元であることの定義である。
&mathjax{b \in (p)}; としても、同様に &mathjax{p}; が既約元であることが示せる。