素元 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は整域
- &mathjax{p ~(\in R)}; は &mathjax{R}; の元

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{p}; が素元であるとは、 &mathjax{(p)}; が0でない素イデアルであることをいう。

* 例 [#ae2093c7]

- &mathjax{\mathbb{Z}}; の素元の集合は (&mathjax{\pm};素数) である。

* その他 [#r9b7ca9d]

- Wikipedia では同値な別の定義が記されていた。 
&mathjax{p}; が素元であるとは、任意 &mathjax{R}; の元 &mathjax{a, b}; に対し、 &mathjax{p \mid ab}; ならば''必ず''、 &mathjax{p \mid a}; または &mathjax{p \mid b}; が成立することをいう。
ある元 &mathjax{x}; が &mathjax{p \mid x}; であることは &mathjax{x \in \left\{np \mathrel{}\middle|\mathrel{} n \in R\right\} = (p)}; となることであるから、これを使って書き換えると素イデアルによる定義になる。
- 既約元とは似ているが異なる。ただし、 &mathjax{\mathbb{Z}}; に代表される一意分解整域 (UFD) ではこの二者は同値となるので、 &mathjax{\mathbb{Z}}; ではどちらも (&mathjax{\pm};素数) 素数となる。

--例えば環 &mathjax{\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]}; において、元 &mathjax{3};を考えると、これは既約元である。
--ここで、例えば元 &mathjax{6}; を考える。 &mathjax{6 \in (3)}; である。これを &mathjax{6 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})}; という積に分解したとする。もし &mathjax{(3)}; が素イデアルであるならば &mathjax{1 + \sqrt{-5} \in (3)}; または &mathjax{1 - \sqrt{-5} \in (3)}; でなければならない。ところがそうではない。よって &mathjax{3}; は素元ではない。
--したがって、 &mathjax{3}; は既約元ではあるが素元ではない。