素イデアルによる剰余環 の変更点

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* (定理) 素イデアルによる剰余環 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{I ~(\subset R)}; は部分群

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{R/I}; が整域 &mathjax{\Longleftrightarrow}; &mathjax{I}; が素イデアル

* 証明 [#m05ff4ad]

&mathjax{R/I}; における加法の単位元 &mathjax{\overline{0}}; は &mathjax{I}; であることに注意。 &mathjax{x + I}; を単に &mathjax{\overline{x}}; と略記する場合がある。 (ここではそれは単なる略記である。)
&mathjax{R/I}; における加法の単位元 &mathjax{\overline{0}}; は &mathjax{I}; であることに注意。 &mathjax{x + I}; を単に &mathjax{\overline{x}}; と略記する。 (ここではそれは単なる略記である。)

** &mathjax{\Longrightarrow}; [#n01b1668]

&mathjax{ab \in I}; となるような &mathjax{a, b \in R}; をとる。

このとき &mathjax{\overline{a}\overline{b} = \overline{ab} = \overline{0}}; である。 &mathjax{R/I}; が整域であることより &mathjax{\overline{a} = \overline{0}}; または &mathjax{\overline{b} = \overline{0}}; が成り立つ。

すなわち &mathjax{a \in I}; または &mathjax{b \in I}; のいずれかが成り立つ。これは素イデアルの定義である。

** &mathjax{\Longleftarrow}; [#m6797990]

&mathjax{\overline{a}\overline{b} = \overline{0}}; となるような &mathjax{\overline{a}, \overline{b} \in R/I}; をとる。

&mathjax{\overline{a}\overline{b} = \overline{ab}}; より &mathjax{\overline{ab} = \overline{0}}; であるから &mathjax{ab \in I}; を得る。すると &mathjax{I}; が素イデアルであることから &mathjax{a \in I}; または &mathjax{b \in I}; を得る。

したがって &mathjax{\overline{a} = \overline{0}}; または &mathjax{\overline{b} = \overline{0}}; は成り立つ。これは整域の定義である。