環準同型写像 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R_1, R_2}; は環
- &mathjax{f}; は写像 &mathjax{f: R_1 \longrightarrow R_2};
- &mathjax{1_R}; は &mathjax{R}; の乗法の単位元
- &mathjax{0_R}; は &mathjax{R}; の加法の単位元
- &mathjax{1_{R_1}, 1_{R_2}}; はそれぞれ &mathjax{R_1, R_2}; の乗法の単位元
- &mathjax{0_{R_1}, 1_{R_2}}; はそれぞれ &mathjax{R_1, R_2}; の加法の単位元

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{f}; が環準同型写像であるとは、次の条件を全て満たすこと。

- &mathjax{f(1_R) = 1_R};
- &mathjax{f(0_R) = 0_R};
- &mathjax{f(1_{R_1}) = 1_{R_2}};
- &mathjax{f(0_{R_1}) = 0_{R_2}};
- &mathjax{+}; について群準同型写像である、すなわち &mathjax{f(x+y) = f(x) + f(y)};
- &mathjax{\times}; を保つ、すなわち &mathjax{f(x \times y) = f(x) \times f(y)};
一応 &mathjax{\times}; について環は群ではないので、群準同型写像と同じ条件だけれどもそうとは呼ばない。

* 例 [#ae2093c7]

- 整数環 &mathjax{\mathbb{Z}}; から実数体 &mathjax{\mathbb{R}}; へ恒等写像みたいなものを用意するとこれは環準同型写像のはず。
- 環 &mathjax{R}; からそのイデアルによる剰余類環 &mathjax{R/I}; への写像 &mathjax{r \longmapsto r+I}; は自然な環準同型写像。