核 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{G_1, G_2}; は[[群]]
- &mathjax{f}; は群準同型写像 &mathjax{f: G_1 \longrightarrow G_2}; 

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{f}; の核 &mathjax{\mathrm{Ker} f}; とは、 &mathjax{f}; によって単位元に写る &mathjax{G_1}; の元の集合  &mathjax{\{x \in G_1; f(x) = e\}}; である。
すなわち逆像 &mathjax{f^{-1}(\{e\})}; ということかな？

* 環に対する定義 [#x942068e]

環同型写像に対する核も同様に定義する。

* 核に関する事実 [#l3ade578]

- &mathjax{e_1 ~(\in G_1), e_2 ~(\in G_2)}; を単位元とする。

** &mathjax{f}; が単射 &mathjax{\Longleftrightarrow}; &mathjax{\mathrm{Ker} f = \{e_1\}}; [#h8f9db46]

*** &mathjax{f}; が単射 &mathjax{\Longrightarrow}; &mathjax{\mathrm{Ker} f = \{e_1\}}; [#va88450a]

まず、 &mathjax{e_1 \in \mathrm{Ker}f}; [[は言える>群準同型写像#g0fb4785]]。

もしここで &mathjax{e_1}; 以外の元 &mathjax{a}; が &mathjax{\mathrm{Ker}f}; に含まれているとすると、 &mathjax{f(a) = e_2}; かつ &mathjax{f(e_1) = e_2}; となってしまうが、これは &mathjax{f}; の単射性に反する。従って &mathjax{\mathrm{Ker} f}; には &mathjax{e_1}; 以外の元は存在しない。

*** &mathjax{f}; が単射 &mathjax{\Longleftarrow}; &mathjax{\mathrm{Ker} f = \{e_1\}}; [#c38e6a7f]

&mathjax{f}; が単射でないと仮定する。つまり、ある &mathjax{a, b ~(\in G_1)}; (ただし &mathjax{a \neq b};) に対して &mathjax{f(a) = f(b)}; であるとする。

両辺に左から &mathjax{\{f(a)\}^{-1}}; をかけると &mathjax{e_2 = \{f(a)\}^{-1}f(b)}; となる。 &mathjax{\{f(a)\}^{-1} = f(a^{-1})}; [[である>群準同型写像#vc68df4f]]から、 &mathjax{e_2 = f(a^{-1})f(b) = f(a^{-1}b)}; となる。

よって &mathjax{a^{-1}b \in \mathrm{Ker}f}; となり、仮定から &mathjax{a^{-1}b = e_1}; である。両辺に左から &mathjax{a}; をかけると、 &mathjax{a = b}; となる。これは矛盾する。

従って、 &mathjax{f}; は単射である。