有限表示 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{G}; は群

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{G}; が有限表示であるとは、有限生成かつ有限関係であること。すなわち:

ある集合 &mathjax{X}; から生成された自由群を &mathjax{F}; とし、 &mathjax{R}; を &mathjax{X}; 上の語からなる集合とする。このとき &mathjax{R}; を含む最小の &mathjax{F}; の正規部分群 (正規閉包) &mathjax{N}; による剰余類群を &mathjax{G = F/N}; とおく。これによって
#mathjax(G \simeq \langle X \mid R \rangle);
となるなら、それは &mathjax{G}; の表示という。有限表示とは、この表示において &mathjax{X}; と &mathjax{R}; が共に有限集合となるもののことをいう。また、一つでも有限表示がある群 &mathjax{G}; を有限表示可能という。

* 例 [#ae2093c7]

- &mathjax{\mathbb{Z}}; について、 &mathjax{X = \{x\}, R = \emptyset}; をとり、 &mathjax{X}; により生成される自由群を &mathjax{F}; とする。&mathjax{R}; の正規閉包 &mathjax{N ~(= \{e\})}; について &mathjax{\mathbb{Z} \simeq F/N}; となる。 &mathjax{X, R}; はともに有限集合だから、 &mathjax{\mathbb{Z}}; は有限表示可能。
- &mathjax{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}; について、 &mathjax{X = \{x\}, R = \{[x^n]\}}; をとり、 &mathjax{X}; により生成される自由群を &mathjax{F}; とする。&mathjax{R}; の正規閉包 &mathjax{N ~(= \{e, [x^n], [x^{-n}], [x^{2n}], [x^{-2n}], \cdots\})}; について &mathjax{\mathbb{Z} \simeq F/N}; となる。 &mathjax{X, R}; はともに有限集合だから、 &mathjax{\mathbb{Z}}; は有限表示可能。
- &mathjax{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}; について、 &mathjax{X = \{x\}, R = \{x^n\}}; をとり、 &mathjax{X}; により生成される自由群を &mathjax{F}; とする。&mathjax{R}; の正規閉包 &mathjax{N ~(= \{e, x^n, x^{-n}, x^{2n}, x^{-2n}, \cdots\})}; について &mathjax{\mathbb{Z} \simeq F/N}; となる。 &mathjax{X, R}; はともに有限集合だから、 &mathjax{\mathbb{Z}}; は有限表示可能。