単項イデアル整域 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は整域

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{R}; が単項イデアル整域であるとは、 &mathjax{R}; に含まれる任意のイデアルが単項イデアルであること。
&mathjax{R}; が単項イデアル整域 (PID とも) であるとは、 &mathjax{R}; に含まれる任意のイデアルが単項イデアルであること。

* 例 [#ae2093c7]

&mathjax{\mathbb{Z}}; は単項イデアル整域。

** 証明 [#j34be7a4]

任意のイデアル &mathjax{I}; をとる。 &mathjax{a \in I}; であれば &mathjax{-a \in I}; であるから、 &mathjax{I}; は必ず正整数を持つ。この正整数のうち最小のものを &mathjax{m}; とすると、 &mathjax{I = (m)}; とかける。

*** &mathjax{I \supset (m)}; [#rd33819c]

&mathjax{I}; はイデアルであり、 &mathjax{m \in I}; から、 &mathjax{m}; に対して &mathjax{\mathbb{Z}}; の要素をかけ合わせたもの (つまり &mathjax{m}; の傍元、即ち &mathjax{m}; の倍数) もまた &mathjax{I}; に含まれる。落ち着いてよく見ると、 &mathjax{(m)}; は &mathjax{m}; が生成する単項イデアルを表す表記であった。単項イデアルの定義は &mathjax{m}; の傍元であった。

*** &mathjax{I \subset (m)}; [#n2d27f80]

''正整数'' &mathjax{x ~(\in I)}; をとる。
&mathjax{x}; を &mathjax{m}; で割った商を &mathjax{a}; 、あまりを &mathjax{b}; とする。したがって、 &mathjax{b \in [0, m)}; 。
このとき、 &mathjax{x = am + b}; であるから、 &mathjax{b = x - am}; である。まず &mathjax{am}; は &mathjax{m}; の整数倍であるから &mathjax{I}; に属す。 &mathjax{-am}; は &mathjax{am}; の逆元であるからやはり &mathjax{I}; に属す。
従って &mathjax{x, -am}; の両方が &mathjax{I}; に属している。 &mathjax{b}; はそれらの和なので &mathjax{I}; に含まれる。
さて、前提として &mathjax{b \in [0, m)}; であった。 &mathjax{m}; は &mathjax{I}; の中で最小の正整数であるとしたので、 &mathjax{b = 0}; しかありえない (そうでないと &mathjax{b}; が最小の正整数であることになる) 。以上より &mathjax{x = am}; となるから、 &mathjax{I}; 内の任意の''正整数は'' &mathjax{m}; の倍数となる。そして、 &mathjax{x \in I \Longleftrightarrow -x \in I}; であるから負数に関しても &mathjax{m}; の倍数が成り立つ。 &mathjax{I}; には &mathjax{0 }; も含まれるが、もちろんこれは &mathjax{(m)}; にも含まれている。