剰余類群のR-加群構造 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{M}; はR-加群
- &mathjax{N}; は &mathjax{M}; の部分R-加群

* 定義 [#cd8b54cb]

剰余類群 &mathjax{M/N}; に定数倍写像を次のように定義すると、 &mathjax{M/N}; はR-加群となる:
任意の &mathjax{r ~(\in R)}; と &mathjax{m+N ~(\in M/N)}; に対して
#mathjax(r(m+N) = rm+N);

* 証明 [#r40a834a]
(well-definedness) 後々加筆する。

** (well-definedness) [#g44f2e8b]

&mathjax{m_1 + N = m_2 + N}; だったとすると &mathjax{m_1 - m_2 \in N}; である。

ここで &mathjax{r(m_1 + N) = rm_1 + N}; 、 &mathjax{r(m_2 + N) = rm_2 + N}; である。

ところで &mathjax{r(m_1 - m_2) \in N}; は &mathjax{M}; が &mathjax{R};-加群なのでよい。すると &mathjax{rm_1 - rm_2 \in N}; がなりたつから、 &mathjax{rm_1 + N = rm_2 + N}; となる。

したがってこの演算は well-defined 。