剰余類群 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]
* 仮定 [#c9336d3b]

- &mathjax{G}; は群
- &mathjax{H}; は正規部分群

* 定義 [#cd8b54cb]

剰余類 &mathjax{G/H = \{aH; a \in G\}}; は次のように演算を定義すると群となる:
#mathjax((aH)(bH)=(ab)H);
単位元は &mathjax{H}; とする。

* 証明 [#ae2093c7]

well-defined を確認する必要がある。つまり、同じ元をかけあわせて得た結果は同じ元にうつらなければならない。
まず &mathjax{a, b ~(\in G)}; をとる。すると、定義により
#mathjax((aH)(bH) = (aH)(Hb) = aHb = abH = (ab)H);
ここで、 &mathjax{aH = cH}; となる &mathjax{c ~(\in G)}; をとる。これと &mathjax{bH}; の積は
#mathjax((aH)(bH) = (ab)H);
#mathjax((cH)(bH) = (cb)H);
となるので、両者が等しい必要がある。これは実際に等しい:
#mathjax(abH = a(bH) = a(Hb) = (aH)b);
#mathjax(cbH = c(bH) = c(Hb) = (cH)b);
&mathjax{aH = cH}; だったので、最右辺はどちらも等しい。
&mathjax{bH = dH}; となる &mathjax{d ~(\in G)}; についても &mathjax{(aH)(bH) = (aH)(dH)}; が同様に成り立つ。
これらを組み合わせると、 &mathjax{(aH)(bH) = (cH)(dH)}; も同様に成り立つ。